Dinámica

Ahora que ya sabemos cómo describir un movimiento armónico simple, investigaremos sus posibles causas, es decir, las fuerzas que lo provocan. El sistema físico más sencillo que da lugar a un movimiento de este tipo es un muelle que horizontalmente sujeta una masa (y se desprecian los rozamientos). Cuando la masa se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio el muelle ejerce una fuerza sobre ella proporcional a la elongación pero con signo opuesto a ella y que viene dada por la ley de Hooke:$$F=-k\mathrm{x }$$
Por la segunda ley de Newton sabemos que la fuerza es; $$F=ma$$La acelaración máxima de un oscilador armónico se expresa como: $$a=-{\omega }^2\mathrm{x }$$Remplazando esta ecuación en la ecución de la segunda ley de Newton, obtenemos: $$F=m\left(-{\omega }^{2}x\right)$$

Igualando está expresión con la ecuación de la ley de Hooke vamos a obtener la expresión de la frecuencia angular: $$m\left(-{\omega }^{2}x\right)=-kx$$      $$\omega =\sqrt{\frac{k}{x}}$$

Con esto podemos concluir que siempre que sobre una partícula actué una fuerza proporcional a su desplazamiento y en sentido opuesto a este, realiza un MAS. 

Vamos a expresar las ecuaciones de posición, velocidad  y acaleración en téminos  de la frecuencia:

$$x=A\cos \left(2\pi f\right)$$
$$v=-2\pi fA\mathrm{sen}\left(2\pi ft\right)$$
$$a=-4{\pi }^2{f}^{2}A\cos \left(2\pi ft\right)$$
$$a=-4{\pi }^{2}fx$$

Resolviendo la última ecuación, la ecuación de la aceleración máxima, vamos a obtener la frecuencia de un cuerpo que esta oscilando con movimiento armónico simple expresada en términos de la posición(x) y la aceleración(a)

$$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{-\frac{a}{x}}$$
Puesto que el desplazamiento (x) y la aceleración(a) tienen signos opuestos, el término
$$-\frac{a}{x}$$ siempre es positivo.

Como el período T es el inverso de la frecuencia, partiendo de la ecuación de la frecuencia establecida anteriormente, hallamos la expresión matemática para el período en términos de la posición y la aceleración

$$T=2\pi \sqrt{-\frac{a}{x}}$$

Cuando se estudia cuerpos elásticos, como los resortes, es conveniente que el período y la frecuencia, estén expresados en función de la constante elástica del resorte (k) y de la masa (m) del cuerpo oscilante, lo cual se logra comparando las siguientes ecuaciones:

$$a=-4{\pi }^2{f}^{2}x$$
$$a=-\frac{k}{m}x$$

Combinando y realizando las operaciones indicadas obtenemos:

$$-4{\pi }^2{f}^2=\frac{k}{m}⟶f=\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$
El período se expresa:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

 

Ley de Hooke

Uno de los sisemas más sencillos que puede tener movimiento períodico, es una masa atada a un reosorte apoyada en un plano sin rozamiento.Cuando  se estira un poco el resorte  y lo soltamos, observamos que la masa empieza a oscilar a ambos lados de su posición inicial, llamada de de equilibrio.

La fuerza resultante que actúa sobre la masa oscilante es la “fuerza recuperadora” que en este caso ejerce el muelle; esta fuerza sigue la ley de Hooke. La ley es válida solamente para valores de la fuerza que no provoquen deformaciones permanentes en los cuerpos elásticos (muelles, gomas...) y se expresa con la ecuación:

$$\overrightarrow{F}=-k\Delta \overrightarrow{x}$$

Donde:$$\overrightarrow{F}$$es la fuerza de recuperación  producida por el resorte para la deformación delta de x ( Δ x ), el signo menos se debe a que los vectores F e Δ x tienen sentido contrario, aunque igual dirección. k en este caso es la constante elástica o de recuperación del resorte. Δ x es la elongación o desplazamiento de la masa respecto la posición de eqilibrio o inicial. 

En la gráfica, podemos observar que la fuerza de recuperación vale cero en la posición de equlibrio y en los extremos tiene un valor máximo y sentido contrario al movimiento de la masa oscilante.

Vamos a comprobar virtualmente la Ley de Hooke. 

En la siguiente animación, colgar diferentes masas en el resorte e ir midiendo su elongación, x = (L - Lo)  y tabulado sus datos en la tabla y comprobar los resultados obtenidos.

Para empezar la práctica virtual haga click